2. Логаритъм

Логаритъм - единственото решение на уравнението $a^{x} = b$ при $a > 0, a \neq = 1, b > 0$

а) означение

$x = lo g_{a} b$
- чете се "логаритъм от $b$ при основа $a$ "
Основни свойства

$a^{l o g_{a} b} = b$

$lo g_{a} 1 = 0$

$lo g_{a} a = 1$

a) сравняване
- при $a > 1$ : $lo g_{a} x_{1} < lo g_{a} x_{2} ⟺ x_{1} < x_{2}$
- при $a \in (0; 1)$ : $lo g_{a} x_{1} > lo g_{a} x_{2} ⟺ x_{1} < x_{2}$
- определяне на знака
$lo g_{a} b < 0 ⟺ 1 е между a и b$

$lo g_{a} b > 0 ⟺ 1 не е между a и b$
Преобразуване на логаритми

а) логаритъм на произведение - става сбор от логаритмите на множителите

$lo g_{a} (N_{1} N_{2} \dots N_{n}) = lo g_{a} (N_{1}) + lo g_{a} (N_{2}) + \dots + lo g_{a} (N_{n})$

б) логаритъм на частно - става разлика от логаритмите на числителя и знаменателя

$lo g_{a} (\frac{N _{1}}{N _{2}}) = lo g_{a} (N_{1}) - lo g_{a} (N_{2})$

в) логаритъм от степен - степента излиза пред логаритъма

$lo g_{a} (N^{α}) = α lo g_{a} (N)$

г) смяна на основата - когато искаме да превърнем логаритъм с една основа $a$ в логаритъм с друга основа $b$ по наш избор

$lo g_{a} (N) = \frac{lo g _{b} ( N )}{lo g _{b} ( a )}$
- разменяне на аргумента и основата
$lo g_{a} (N) = \frac{1}{lo g _{N} ( a )} ⟹ lo g_{a} (N) \cdot lo g_{N} (a) = 1$
- изваждане на степен от основата - реципрочното на степента отива пред логаритъма
$lo g_{a^{m}} (N) = \frac{1}{m} lo g_{a} (N)$
- изваждане на степен от аргумента и основата
$lo g_{a^{m}} (N^{n}) = \frac{n}{m} lo g_{a} (N)$
Графика

а) за $a > 1$ - растяща функция

б) за $a \in (0; 1)$ - намаляваща функция

School